I numeri immaginari sono essenziali per descrivere la realtà quantistica?

I numeri naturali sono necessari per contare i giorni, i numeri frazionari per distribuire una pizza e i numeri reali per misurare il tempo. Oltre a questi tipi di numeri, al liceo, agli studenti del corso di laurea in tecnologia vengono insegnati anche i numeri immaginari (o complessi) , strani dispositivi apparentemente privi di utilità quotidiana.

I numeri complessi nacquero dall'impossibilità di risolvere l'equazione x² = -1 utilizzando numeri reali, poiché questi, moltiplicati per se stessi, danno sempre un altro numero positivo. Pertanto, i matematici introdussero l'unità immaginaria, i, un'entità astratta che soddisfa i² = -1. In generale, i numeri complessi sono quelli che possono essere scritti come a + bi , dove a e b sono numeri reali. Ad esempio, 2/7 + 8i.

Inizialmente, non modellavano alcuna realtà fisica, ma col tempo iniziarono a trovare applicazioni. Iniziarono a essere utilizzati in campi della fisica come l'ottica e l'elettromagnetismo, anche se solo per semplificare i calcoli; tutte le derivazioni di queste teorie possono essere enunciate senza l'uso di numeri complessi. Nello sviluppo della meccanica quantistica, la teoria fisica che descrive il comportamento delle particelle più piccole, i numeri immaginari apparvero in modo più fondamentale: è l'unica teoria fisica i cui postulati includono questo tipo di numeri.

Tuttavia, i suoi ideologi erano insoddisfatti dell'uso dei numeri complessi nei fondamenti della meccanica quantistica, poiché contraddiceva il fatto che tutto ciò che è misurabile in laboratorio è quantificabile con numeri reali. In una delle sue lettere a Hendrik Lorentz, Erwin Schrödinger affermò: "L'uso dei numeri complessi è fastidioso. Dovremmo essere in grado di formulare la teoria quantistica senza di essi".

Per anni, alcuni scienziati hanno tentato senza successo di sviluppare una teoria quantistica che evitasse i numeri complessi, mentre altri ne sostenevano l'inevitabilità. A sostegno di quest'ultima posizione, nel 2021, un gruppo internazionale di scienziati, con un'ampia partecipazione spagnola, ha ideato un esperimento che, se realizzato, avrebbe dimostrato che i numeri immaginari sono essenziali per la teoria quantistica.

Da un punto di vista teorico, non è altro che un gioco, simile a quello ideato da John Bell nel 1964 per dimostrare che la meccanica quantistica è al di là della portata della fisica classica. Il gioco coinvolge tre giocatori: Alice, Beth e Carla, e un arbitro, che pone simultaneamente a ciascuno di loro una domanda a ogni round. I giocatori sanno in anticipo quale trio di risposte devono usare per rispondere correttamente a ciascun trio di domande e vincere il round di gioco, ma si trovano in stanze separate, quindi non conoscono le domande poste ai loro due partner, da cui dipende la risposta corretta. Prima di iniziare, possono incontrarsi e concordare una strategia. Inoltre, possono accedere a una risorsa extra per coordinare le loro risposte: le particelle quantistiche entangled.

Le percentuali di vincita nel gioco sono date da valori (chiamati norme) associati a determinate funzioni (le cosiddette forme multilineari), che vengono studiate nell'analisi funzionale. La chiave del gioco proposto risiede nelle previsioni teoriche, poiché permettono di stimare la percentuale di vincita che i giocatori otterrebbero se avessero accesso a particelle entangled descritte da una teoria quantistica che utilizza solo numeri reali, e anche nel caso di particelle provenienti da una teoria basata sui numeri immaginari. Inoltre, sostengono che la prima percentuale sia inferiore alla seconda. Di conseguenza, per verificare la necessità di numeri complessi, è sufficiente giocare molte mani di questo gioco e ottenere una percentuale di vincita superiore a quella prevista dalla teoria basata sui numeri reali.

Nonostante la semplicità della proposta, riprodurre il gioco richiede la manipolazione di particelle quantistiche, il che rappresenta una sfida pratica: i sistemi devono essere operati a -270 °C, vicino allo zero assoluto; oppure le particelle luminose, i fotoni, devono essere controllate con elevata precisione. Diversi esperimenti hanno già avuto successo , ma non del tutto. La comunità quantistica è fiduciosa che l'esperimento verrà pienamente realizzato, dimostrando che i numeri immaginari sono inevitabili nella descrizione del mondo fisico.

Francisco Escudero Gutiérrez , ricercatore di dottorato presso il Centro olandese per la matematica e l'informatica (CentrumWiskunde & Informatica, CWI)

A cura e coordinamento di: Ágata Timón (Istituto di Scienze Matematiche)

Caffè e Teoremi è una sezione dedicata alla matematica e all'ambiente in cui si sviluppa, coordinata dall'Istituto di Scienze Matematiche (ICMAT). Ricercatori e membri del centro descrivono gli ultimi progressi in questa disciplina, condividono punti di contatto tra la matematica e altre espressioni sociali e culturali e ricordano coloro che ne hanno plasmato lo sviluppo e hanno saputo trasformare il caffè in teoremi. Il nome evoca la definizione del matematico ungherese Alfred Rényi: "Un matematico è una macchina che trasforma il caffè in teoremi".